문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 타원 적분 (문단 편집) === [[초기하함수]]를 통한 정의 === 완전 제1종⋅제2종 타원 적분은 다음과 같이 [[초기하함수]]를 사용해 나타낼 수 있다. ||<:>{{{#!wiki style="text-align: center" [math(\begin{aligned} K(k) &= \dfrac\pi2 \,{}_2F_1 \biggl( \dfrac12, \dfrac12; 1; k^2 \biggr) \\ E(k) &= \dfrac\pi2 \,{}_2F_1 \biggl( -\dfrac12, \dfrac12; 1; k^2 \biggr) \end{aligned} )]}}}|| ||{{{#!folding [유도 과정] ------- 완전 제1종 타원 적분만 증명한다. 증명 과정에서 [[이항급수]], [[이항계수]] 및 [[하강 계승]]의 성질이 사용된다. 제2종도 비슷한 방법으로 유도할 수 있다. {{{#!wiki style="text-align:center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} K(k) &= \int_0^{\pi/2} \frac1{\sqrt{1-k^2 \sin^2 \theta}} \,{\rm d}\theta \qquad (0\le k\le1) \\ &= \int_0^{\pi/2} (1-k^2 \sin^2 \theta)^{-1/2} \,{\rm d}\theta \\ &= \int_0^{\pi/2} \sum_{n=0}^\infty \binom{-1/2}n (-k^2 \sin^2 \theta)^n \,{\rm d}\theta \\ &= \int_0^{\pi/2} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1/2)^{\underline n}}{n!} (-k^2 \sin^2 \theta)^n \,{\rm d}\theta \\ &= \int_0^{\pi/2} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n (1/2)^{\overline n}}{n!} (-1)^n k^{2n} \sin^{2n} \theta \,{\rm d}\theta \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(1/2)^{\overline n}}{n!} k^{2n} \int_0^{\pi/2} \sin^{2n} \theta \,{\rm d}\theta \\ &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(1/2)^{\overline n}}{n!} k^{2n} \cdot \frac\pi2 \frac{(1/2)^{\overline n}}{n!} \\ &= \frac\pi2 \sum_{n=0}^\infty \frac{(1/2)^{\overline n} \cdot (1/2)^{\overline n}}{n!} \frac{(k^2)^n}{n!} \\ &= \frac\pi2 \sum_{n=0}^\infty \frac{(1/2)^{\overline n} \cdot (1/2)^{\overline n}}{1^{\overline n}} \frac{(k^2)^n}{n!} \\ &= \frac\pi2 \,{}_2F_1 \biggl( \frac12, \dfrac12; 1; k^2 \biggr) \end{aligned} )]}}} }}}||저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기